Η περισσότερη εξάσκηση στην αφηρημένη συλλογιστική σταματά στην περιστροφή, τη μετακίνηση, την καταμέτρηση και τους κύκλους χρωμάτων. Αυτοί είναι κανόνες που διαβάζονται μέσα σε ένα μόνο σχήμα. Οι οκτώ οικογένειες παρακάτω είναι δυσκολότερες επειδή δεν διαβάζονται έτσι: η απάντηση εξαρτάται από έναν γείτονα, από το σχήμα δύο βήματα πίσω, από ένα πλήθος κάπου αλλού στο σχήμα ή από ένα σύνολο που δεν αλλάζει ποτέ. Μάθε να τις αναγνωρίζεις και οι συνηθισμένες σειρές θα αρχίσουν να σου φαίνονται εύκολες.
Η εξέταση αφηρημένης συλλογιστικής της EPSO σού δίνει περίπου ένα λεπτό ανά ερώτηση: στον τρέχοντα διαγωνισμό AST 3, 10 ερωτήσεις σε 10 λεπτά, με βάση κοινή με την αριθμητική συλλογιστική (10 από τους 20 βαθμούς των δύο εξετάσεων μαζί). Για τα βασικά, ξεκίνα από τον οδηγό μας για την αφηρημένη συλλογιστική και τις δέκα οικογένειες κανόνων· αυτή η σελίδα ανεβαίνει ένα επίπεδο.
1. Κανόνες γειτονιάς
Η επόμενη κατάσταση κάθε στοιχείου εξαρτάται από τα στοιχεία δίπλα του, όχι από το ίδιο. Μια χάντρα γίνεται μαύρη όταν ακριβώς μία από τις δύο γειτόνισσές της είναι μαύρη· ένα κελί γίνεται μαύρο όταν ακριβώς ένα από τα κελιά πάνω, κάτω, αριστερά ή δεξιά του είναι μαύρο. Το σχήμα μοιάζει να περιστρέφεται ή να αναβοσβήνει τυχαία, αλλά τίποτα δεν κινείται.
Πώς το αναγνωρίζεις: ένας δακτύλιος ή ένα πλέγμα του οποίου το μοτίβο αλλάζει με τρόπο που καμία περιστροφή δεν εξηγεί, και ένα πλήθος μαύρων στοιχείων που ανεβαίνει και κατεβαίνει. Η παγίδα: να ψάχνεις στροφή. Δούλεψε ένα στοιχείο τη φορά ξεκινώντας από το τελευταίο σχήμα, διαβάζοντας πάντα τα παλιά χρώματα, ποτέ τα καινούργια.
2. Σειρές που κοιτούν δύο σχήματα πίσω
Κάθε σχήμα χτίζεται από τα δύο προηγούμενα, όχι μόνο από το τελευταίο: ένα πλήθος που είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων (3, 2, 5, 7, 12 → 19) ή ένα πλέγμα που τοποθετείται πάνω στο πλέγμα δύο βήματα πίσω, όπου τα μαύρα κελιά που συμπίπτουν αλληλοαναιρούνται και γίνονται λευκά.
Πώς το αναγνωρίζεις: οι διαφορές ανάμεσα σε διαδοχικά σχήματα μοιάζουν τυχαίες, αλλά το σχήμα 3 μπορεί να ξαναχτιστεί από τα σχήματα 1 και 2. Η παγίδα: να προσπαθείς να διαβάσεις την απάντηση μόνο από το σχήμα 5. Δοκίμασε πρώτα τον κανόνα στο σχήμα 3 και μετά εφάρμοσέ τον στα σχήματα 4 και 5.
3. Συζευγμένα βήματα
Το πόσο μετακινείται ένα στοιχείο το ορίζει ένα πλήθος κάπου αλλού στο ίδιο σχήμα: μια βελόνα στρίβει τόσους τομείς όσες είναι οι κουκκίδες, ένας δείκτης προχωρά τόσες θέσεις όσες είναι οι μαύρες χάντρες.
Πώς το αναγνωρίζεις: ένα στοιχείο του οποίου το βήμα αλλάζει συνεχώς μέγεθος, δίπλα σε κάτι που μετριέται. Η παγίδα: να χρησιμοποιείς το πλήθος του προηγούμενου σχήματος. Βρες πρώτα το πλήθος του σχήματος που σχεδιάζεις και μετά μετακίνησε το στοιχείο τόσο.
4. Συμπεριφορά ανά είδος
Στοιχεία με διαφορετικά χρώματα ή σχήματα ακολουθούν διαφορετικούς κανόνες στο ίδιο σχήμα. Οι λευκοί χαρταετοί περιστρέφονται ενώ οι μαύροι αντιγράφουν έναν γείτονα· ένα πιόνι προχωρά τόσους σταθμούς όσες γωνίες έχει, οπότε ένας κύκλος δεν κινείται ποτέ.
Πώς το αναγνωρίζεις: κάποια στοιχεία συμπεριφέρονται κανονικά και άλλα όχι. Ομαδοποίησέ τα κατά χρώμα ή σχήμα και η κανονικότητα εμφανίζεται σε κάθε ομάδα. Η παγίδα: να επιβάλλεις έναν μόνο κανόνα σε όλα.
5. Κύκλοι κανόνων
Ο ίδιος ο μετασχηματισμός εναλλάσσεται με σταθερή σειρά: ένας κατοπτρισμός, μετά μια ανταλλαγή χρωμάτων, μετά ένα τέταρτο στροφής, μετά πάλι ένας κατοπτρισμός. Κάθε βήμα είναι εύκολο· το δύσκολο είναι να ξέρεις ποιο έρχεται μετά.
Πώς το αναγνωρίζεις: ονόμασε φωναχτά την κίνηση ανάμεσα σε κάθε ζευγάρι σχημάτων. Αν τα ονόματα επαναλαμβάνονται με ένα μοτίβο (κατοπτρισμός, ανταλλαγή, στροφή, κατοπτρισμός), το επόμενο όνομα είναι η απάντηση. Η παγίδα: να υποθέτεις ότι η τελευταία κίνηση επαναλαμβάνεται.
6. Περιπατητές με μνήμη
Ένας περιπατητής κινείται με τοπικούς κανόνες και αφήνει ίχνη: στρίβει δεξιά σε λευκό πλακάκι και αριστερά σε μαύρο, και αλλάζει το χρώμα του πλακακιού που αφήνει· ή μια πένα στρίβει κάθε φορά που η επόμενη καρφίτσα έχει ήδη χρησιμοποιηθεί, ακόμη κι αν εκείνη η γραμμή έχει ήδη σβήσει από την εικόνα.
Πώς το αναγνωρίζεις: ένα στοιχείο που κινείται, συν κελιά ή σημάδια που αλλάζουν πίσω του. Η παγίδα: να διαβάζεις την κατάσταση μόνο από το τελευταίο σχήμα. Κάποιοι κανόνες εξαρτώνται από το ιστορικό, οπότε παρακολούθησε τη διαδρομή καθώς προχωράς.
7. Τοπολογία
Ο κανόνας αφορά πόσα κομμάτια, διασταυρώσεις, νησιά, τρύπες ή κλειστοί βρόχοι υπάρχουν, και οι θέσεις είναι θόρυβος. Δύο γραμμές που συναντιούνται σε μια καρφίτσα είναι ένα κομμάτι· μια εγκοπή στην άκρη δεν είναι τρύπα· δύο κελιά που ακουμπούν μόνο σε μια γωνία είναι χωριστά νησιά.
Πώς το αναγνωρίζεις: η διάταξη αλλάζει εντελώς από σχήμα σε σχήμα, αλλά κάτι μετρήσιμο ανεβαίνει ή κατεβαίνει κατά ένα. Η παγίδα: να μετράς λάθος μονάδα, για παράδειγμα χορδές αντί για σημεία διασταύρωσης.
8. Μεταφορές που διατηρούν το σύνολο
Ποσότητες περνούν από ένα δοχείο σε άλλο και το σύνολο δεν αλλάζει ποτέ: ο πιο γεμάτος σωλήνας αδειάζει τα μισά στον επόμενο, τα μπολ με τρεις χάντρες τις μοιράζουν, το πιο φτωχό πουγκί παίρνει ένα νόμισμα από καθένα από τα άλλα.
Πώς το αναγνωρίζεις: πρόσθεσε τα πλήθη κάθε σχήματος. Αν το άθροισμα είναι σταθερό, ψάξε τον κανόνα μεταφοράς. Η παγίδα: να μετακινείς ένα δοχείο πριν αποφασίσεις ποιος δίνει. Όλες οι μεταφορές σε ένα σχήμα γίνονται ταυτόχρονα, με βάση το προηγούμενο σχήμα.
Πέντε ερωτήσεις εξάσκησης
Αυτές είναι οι πέντε δωρεάν ερωτήσεις της κάρτας μας Αφηρημένη Συλλογιστική · Focus III, στην ίδια μορφή με την κάρτα: πέντε σχήματα, ένα ερωτηματικό και πέντε επιλογές. Δώσε στον εαυτό σου δύο λεπτά για καθεμία πριν ανοίξεις την απάντηση. Τα σχήματα σχεδιάστηκαν για την κάρτα· οι οικογένειες που χρησιμοποιεί κάθε ερώτηση αναφέρονται στην απάντηση.
Εμφάνιση απάντησης
• Οι χάντρες: μια χάντρα είναι μαύρη στην επόμενη μορφή όταν ακριβώς μία από τις δύο γειτόνισσές της είναι μαύρη τώρα, και λευκή σε κάθε άλλη περίπτωση — το δικό της χρώμα δεν μετράει.
• Το κούμπωμα: προχωρά δεξιόστροφα κατά τόσες χάντρες όσες μαύρες χάντρες έχει η ίδια μορφή.
• Το μενταγιόν: αλλάζει τυχαία και δεν ακολουθεί κανέναν κανόνα.
Λύση: Εφάρμοσε τον κανόνα των γειτόνων στις τέσσερις μαύρες χάντρες της μορφής 5 και η απάντηση έχει έξι μαύρες χάντρες, άρα το κούμπωμα προχωρά έξι χάντρες δεξιόστροφα από εκεί που βρισκόταν στη μορφή 5.
Γιατί όχι οι άλλες:
• A: Η μορφή που στρέφει όλο το κολιέ κατά μία θέση αντί να εφαρμόσει τον κανόνα των γειτόνων, και μετακινεί το κούμπωμα με την παλιά μέτρηση.
• C: Η μορφή που εφαρμόζει τον κανόνα των γειτόνων αλλά μετράει και το χρώμα κάθε χάντρας, και μετακινεί το κούμπωμα αριστερόστροφα.
• D: Η μορφή που μετακινεί το κούμπωμα με βάση τις μαύρες χάντρες της προηγούμενης μορφής.
• E: Η μορφή που αφήνει να μετράει και το χρώμα κάθε χάντρας, έτσι ώστε μια μαύρη χάντρα με δύο μαύρες γειτόνισσες μένει μαύρη.
Συντόμευση: Το κολιέ μοιάζει να περιστρέφεται, αλλά καμία χάντρα δεν μετακινείται: η καθεμία υπολογίζεται ξανά από τις δύο γειτόνισσές της. Πήγαινε χάντρα-χάντρα ξεκινώντας από τη μορφή 5 και μετά μέτρησε τις νέες μαύρες χάντρες για να μετακινήσεις το κούμπωμα. Το μενταγιόν υπάρχει για να αγνοηθεί.
Εμφάνιση απάντησης
• Οι κηλίδες: κάθε μορφή είναι η προηγούμενη μορφή στραμμένη κατά ένα τέταρτο της στροφής δεξιόστροφα και τοποθετημένη πάνω στη μορφή δύο θέσεις πριν· όπου συναντιούνται δύο μαύρες κηλίδες, αλληλοαναιρούνται και γίνονται λευκές.
• Η στροφή: το τέταρτο της στροφής είναι πάντα δεξιόστροφο.
• Το περίγραμμα: γκρι όταν οι μαύρες κηλίδες είναι περιττές στον αριθμό, λευκό όταν ο αριθμός είναι άρτιος.
Λύση: Στρέψε τη μορφή 5 κατά ένα τέταρτο της στροφής δεξιόστροφα και τοποθέτησέ τη πάνω στη μορφή 4: ένα ζεύγος μαύρων κηλίδων συναντιέται και αλληλοαναιρείται, οπότε μένει μία μαύρη κηλίδα — περιττός αριθμός, άρα το περίγραμμα είναι γκρι.
Γιατί όχι οι άλλες:
• A: Η μορφή που κρατά το μαύρο εκεί όπου συναντιούνται δύο μαύρες κηλίδες αντί να τις αναιρέσει.
• B: Η μορφή που τοποθετεί τις δύο προηγούμενες μορφές τη μία πάνω στην άλλη χωρίς να στρέψει την πιο πρόσφατη.
• C: Η μορφή που στρέφει την πιο πρόσφατη μορφή αριστερόστροφα πριν από την επικάλυψη.
• D: Η μορφή που κάνει την επικάλυψη χωρίς στροφή και δίνει στο περίγραμμα λάθος ισοτιμία.
Συντόμευση: Εδώ τίποτα δεν διαβάζεται μόνο από τη μορφή 5: κάθε μορφή χρειάζεται τις δύο προηγούμενες. Γράψε τα δύο πλέγματα το ένα δίπλα στο άλλο, στρέψε το πιο πρόσφατο και μετά κάνε την αναίρεση. Το περίγραμμα είναι ένας δωρεάν έλεγχος στο τέλος — μέτρησε τις μαύρες κηλίδες.
Εμφάνιση απάντησης
• Οι κουκκίδες: δύο πάνω, μία κάτω, δύο πάνω, μία κάτω — 1, 3, 2, 4, 3 → 5.
• Η βελόνα: στρέφεται δεξιόστροφα κατά τόσους τομείς όσες κουκκίδες έχει η ίδια μορφή.
• Ο γκρι τομέας: είναι ο τομέας στον οποίο έδειχνε η βελόνα στην προηγούμενη μορφή.
• Οι θέσεις των κουκκίδων: η θέση τους στον δίσκο αλλάζει τυχαία και δεν ακολουθεί κανέναν κανόνα.
Λύση: Η απάντηση έχει πέντε κουκκίδες, άρα η βελόνα στρέφεται πέντε τομείς δεξιόστροφα από εκεί που έδειχνε στη μορφή 5, και ο γκρι τομέας είναι εκείνος στον οποίο έδειχνε στη μορφή 5.
Γιατί όχι οι άλλες:
• B: Η μορφή που προσθέτει πάλι δύο κουκκίδες αντί να εναλλάσσει, και στρέφει τη βελόνα κατά έξι.
• C: Η μορφή που στρέφει τη βελόνα με βάση τις κουκκίδες της προηγούμενης μορφής και κάνει γκρι τον τομέα στον οποίο δείχνει τώρα.
• D: Η μορφή που στρέφει τη βελόνα με βάση τις τρεις κουκκίδες της προηγούμενης μορφής αντί για τις πέντε αυτής της μορφής.
• E: Η μορφή που προσθέτει πάλι δύο κουκκίδες, στρέφει κατά έξι και κάνει γκρι τον τομέα στον οποίο δείχνει τώρα η βελόνα.
Συντόμευση: Λύσε πρώτα τις κουκκίδες: η βελόνα δεν ελέγχεται πριν ξέρεις πόσες είναι. Μετά μέτρα τους τομείς από τη βελόνα της μορφής 5, όχι από τον γκρι τομέα.
Εμφάνιση απάντησης
• Η απόσταση: κάθε πούλι προχωρά τόσες στάσεις όσες γωνίες έχει — γι' αυτό ο κύκλος δεν κινείται ποτέ.
• Η κατεύθυνση: περιττός αριθμός γωνιών πηγαίνει δεξιόστροφα, άρτιος αριστερόστροφα.
• Η σκίαση: ένα πούλι είναι μαύρο όσο βρίσκεται στο πάνω ευθύγραμμο τμήμα και λευκό οπουδήποτε αλλού.
Λύση: Από τη μορφή 5 το τρίγωνο προχωρά τρεις στάσεις δεξιόστροφα, το τετράγωνο τέσσερις αριστερόστροφα και το πεντάγωνο πέντε δεξιόστροφα· ο κύκλος μένει στη θέση του. Το τρίγωνο, το τετράγωνο και το πεντάγωνο καταλήγουν όλα στο πάνω ευθύγραμμο τμήμα, άρα και τα τρία είναι μαύρα.
Γιατί όχι οι άλλες:
• A: Η μορφή που μετακινεί το πεντάγωνο τέσσερις στάσεις αντί για πέντε.
• B: Η μορφή που στέλνει το τετράγωνο δεξιόστροφα και σκιάζει με βάση τις παλιές θέσεις.
• C: Η μορφή που μετακινεί σωστά κάθε πούλι αλλά σκιάζει το καθένα με βάση το πού βρισκόταν πριν κινηθεί.
• D: Η μορφή που στέλνει το τετράγωνο δεξιόστροφα.
Συντόμευση: Ο κύκλος είναι το κλειδί: δεν κινείται ποτέ επειδή δεν έχει γωνίες. Μέτρα γωνίες, όχι μορφές — και σκίασε μόνο αφού έχουν φτάσει όλα τα πούλια.
Εμφάνιση απάντησης
• Η στροφή: σε λευκό πλακάκι ο περιπατητής στρίβει δεξιά, σε μαύρο πλακάκι αριστερά, και μετά προχωρά ένα πλακάκι μπροστά.
• Τα πλακάκια: το πλακάκι που αφήνει αλλάζει χρώμα· κανένα άλλο πλακάκι δεν αλλάζει ποτέ.
• Το βότσαλο: το γκρι βότσαλο περιπλανιέται τυχαία και δεν ακολουθεί κανέναν κανόνα.
Λύση: Στη μορφή 5 ο περιπατητής στέκεται σε λευκό πλακάκι, άρα στρίβει δεξιά και προχωρά ένα πλακάκι μπροστά· το πλακάκι που αφήνει γίνεται μαύρο.
Γιατί όχι οι άλλες:
• A: Η μορφή που στρίβει προς τη λάθος πλευρά και αλλάζει το πλακάκι στο οποίο φτάνει αντί για εκείνο που άφησε.
• B: Η μορφή που στρίβει προς τη λάθος πλευρά και αφήνει όλα τα πλακάκια όπως ήταν.
• C: Η μορφή που στρίβει προς τη λάθος πλευρά για το χρώμα του πλακακιού όπου στεκόταν.
• E: Η μορφή που προχωρά δύο πλακάκια και αφήνει όλα τα πλακάκια όπως ήταν.
Συντόμευση: Διάβασε το πλακάκι ΚΑΤΩ από τον περιπατητή στη μορφή 5 — το χρώμα του δίνει τη στροφή — και άλλαξε αυτό το πλακάκι, όχι το επόμενο. Το βότσαλο υπάρχει για να αγνοηθεί.
Αυτές οι ερωτήσεις έχουν γραφτεί από το EU Testing σε μορφή EPSO. Δεν είναι επίσημες ερωτήσεις του EPSO.
Πώς να χρησιμοποιήσεις αυτές τις οικογένειες στην πραγματική εξέταση
Στην εξέταση σπάνια θα ξέρεις ποια οικογένεια έχεις μπροστά σου. Βοηθά μια γρήγορη σειρά ελέγχων: ψάξε πρώτα κάτι σταθερό (ένα σύνολο, ένα πλήθος κομματιών)· μετά μέτρησε τα στοιχεία σε κάθε σχήμα· μετά σύγκρινε κάθε σχήμα με εκείνο δύο βήματα πίσω· μετά ομαδοποίησε τα στοιχεία κατά είδος. Αν τίποτε από αυτά δεν πιάσει, ονόμασε την κίνηση ανάμεσα σε κάθε ζευγάρι σχημάτων και ψάξε έναν κύκλο. Κάθε έλεγχος παίρνει λίγα δευτερόλεπτα, και ένας από αυτούς συνήθως ξεκλειδώνει τη σειρά.
Ακόμη 55 ερωτήσεις σε αυτές τις οικογένειες
Αφηρημένη Συλλογιστική · Focus III: 60 ακολουθίες σχημάτων σε αυτές τις οκτώ οικογένειες, καθεμία με λυμένη απάντηση, σε 13 γλώσσες.
Άνοιξε το Focus III → Οι πρώτες 5 ερωτήσεις δωρεάν · οι υπόλοιπες με PremiumΣυχνές ερωτήσεις
Χρησιμοποιεί πράγματι η EPSO τόσο δύσκολους κανόνες;
Η EPSO δεν δημοσιεύει τις ερωτήσεις της πέρα από λίγα δείγματα, που χρησιμοποιούν απλούς κανόνες όπως περιστροφές και αλλαγές χρώματος. Αυτές οι οικογένειες πηγαίνουν σκόπιμα πιο πέρα: η εξάσκηση σε δυσκολότερες σειρές κάνει τους κανόνες της ίδιας της εξέτασης πιο γρήγορους να τους δεις, και οι συνήθειες που καλλιεργούν, όπως η καταμέτρηση, ο έλεγχος των συνόλων και η σύγκριση σχημάτων που απέχουν δύο βήματα, ισχύουν για κάθε σειρά.
Πόσο χρόνο έχω ανά ερώτηση αφηρημένης συλλογιστικής;
Περίπου ένα λεπτό. Στον τρέχοντα διαγωνισμό AST 3, EPSO/AST/158/26, η εξέταση αφηρημένης συλλογιστικής έχει 10 ερωτήσεις σε 10 λεπτά, και η βάση της είναι κοινή με την αριθμητική συλλογιστική: 10 από τους 20 βαθμούς των δύο εξετάσεων μαζί.
Ποιος είναι ο πιο γρήγορος τρόπος να βρω τον κανόνα;
Ψάξε πρώτα κάτι σταθερό, όπως ένα σύνολο ή ένα πλήθος κομματιών· μετά μέτρησε τα στοιχεία κάθε σχήματος· μετά σύγκρινε κάθε σχήμα με εκείνο δύο βήματα πίσω· μετά ομαδοποίησε τα στοιχεία κατά χρώμα ή σχήμα. Αν ονομάζεις την κίνηση ανάμεσα σε κάθε ζευγάρι σχημάτων, φαίνονται οι κύκλοι κανόνων.
Πού μπορώ να εξασκηθώ περισσότερο σε τέτοιους κανόνες;
Η κάρτα μας Αφηρημένη Συλλογιστική · Focus III έχει 60 ακολουθίες χτισμένες σε αυτές τις οκτώ οικογένειες, καθεμία με λυμένη απάντηση. Οι πρώτες πέντε, αυτές της σελίδας, είναι δωρεάν.
Ερωτήσεις εξάσκησης από την κάρτα Αφηρημένη Συλλογιστική · Focus III του EU Testing· μορφή της εξέτασης σύμφωνα με την προκήρυξη EPSO/AST/158/26. Δημοσιεύθηκε στις 12 Οκτωβρίου 2026.